Singapore har i flere år har været det land, hvor skoleelever klarer sig bedst i matematik. Men hvordan er deres undervisning anderledes, fra det vi kender til i Danmark? 

Det spørgsmål beskæftiger Julie Klausholt og Line Sandholm sig med i deres professionsbachelorprojekt fra læreruddannelsen i Aarhus, Via UC.

I Singapore-matematik tager man udgangspunkt i forskeres anbefalinger indenfor matematik, blandt andet med fokus på konkrete materialer, skriver Julie Klausholt og Line Sandholm. 

Forskning viser nemlig, at brug af repræsentationsformer i undervisningen kan være med til at understøtte elevernes forståelse. Det er ikke nyt i Danmark, hvor man for eksempel flittigt bruger det konkrete materiale centicubes. 

Men det er især i de mindre klasser, at sådanne materialer spiller en central rolle, og i løbet af de to lærerstuderendes praktikker har det undret dem, at det ikke fortsætter med at være en central del af undervisningen gennem hele skoleforløbet.

Særligt har de oplevet manglende muligheder og inspiration til at inddrage repræsentationsformer i forhold til algebra, som mange elever har svært ved at forstå på grund af brugen af bogstaver og symboler. Deres undersøgelse tager derfor udgangspunkt i problemformuleringen:

 ”Hvordan arbejder man med repræsentationer i Singapore-matematik, og hvilke kvaliteter fra dette kan anvendes i udviklingen af et konkret materiale til ligninger, målrettet til danske elever i udskolingen?”

Singapore-matematik

Line Sandholm og Julie Klausholt skriver, at Singapore-matematik er kendetegnet ved, at mange af aktiviteterne i undervisningsbøgerne bærer præg af en tilgang, hvor elever går fra det konkrete over det visuelle til det abstrakte. 

Tilgangen er baseret på den amerikanske psykolog og forsker Jerome Bruners trestadieteori, der beskriver repræsentationer på tre forskellige måder og er rettet mod børns kognitive udvikling. Bruner betegner de tre former: enaktiv, ikonisk og symbolsk. Den enaktive repræsentation er kendetegnet ved at være handlingspræget. 

Den ikoniske kommer til udtryk gennem billeder, og den symbolske er karakteriseret ved ord eller sprog. 

”I en matematikkontekst kan repræsentationerne bruges til at skabe en progression i undervisningen, hvor man starter med den enaktive repræsentation, derefter den visuelle, for til sidst at arbejde med den symbolske repræsentation”, skriver Line Sandholm og Julie Klausholt.

Konkrete materialer definerer de som ”et fysisk materiale, som eleverne kan anvende til at konkretisere matematikken ved brug af flere sanser, så de kan opnå forståelse for matematikkens abstrakte natur”. 

Arbejdet med det konkrete skal altså give eleverne større forståelse af matematikken, og det betyder også, ”at man ikke kan erstatte det konkrete med tegninger og billeder, da det ikke er noget, man kan sanse og manipulere med”.

Analyse af T-MAT

For at finde inspiration til selv at designe et konkret materiale til undervisning i ligninger i udskolingen har Julie Klausholt og Line Sandhold gennemført en diskursanalyse af undervisningsmaterialet ”T-MAT”, som bygger på grundprincipperne fra Singapore, og som netop handler om ligninger.

De konkluderer, at materialet følger Bruners teori om, at repræsentationerne skal være med til at skabe progression fra det konkrete til det abstrakte. I et tema, ”der omhandler ligningsløsning - uformelle metoder, består hele første modul af at arbejde med konkrete materialer samt tallinjen. Her indgår der fem aktiviteter, hvor de konkrete materialer er i spil. Der bruges centicubes, tallinjer, tændstikker og lodvægte til at løse ligningerne”, skriver de. 

Derudover finder de frem til, at der også indgår et abstrakt element i de konkrete opgaver, ”fordi eleverne skal skrive den ligning ned, de har symboliseret med centicubes eller lignende. I opgaverne med tallinjen og en vægt bliver det også tydeligt at den visuelle repræsentation er i spil, eftersom repræsentationerne også indgår som billeder. Så selvom opgaverne er symboliseret som konkrete, indeholder de flere repræsentationer, hvor der er mulighed for progression i opgaverne”.

Ligningsbrættet

Line Sandhold og Julie Klausholt beskriver deres proces med designet af ”ligningsbrættet”, et konkret materiale til undervisningen i udskolingen. 

De brainstormede på ideer, herunder ”anvendelsen af en tallinje, brug af centicubes, Cuisenaire-brikker og blokmodellen var nogle af flere idéer, der kom i spil”. 

De tog udgangspunkt i to ideer; ”en tidslinje med brug af centicubes og to rektangler med centicubes, der skulle beskrive hver sin side af ligningen”, og de kom ”frem til, at der var størst potentiale i at arbejde videre med rektangler med centicubes”. 

I processen fandt de også ud af, at brættet ikke ville kunne løse alle former for ligninger, derfor valgte de at fokusere på ligninger med positive og negative tal. Det færdige materiale ”Ligningsbrættet” består af et bræt udformet i træ med 10 x10 kvadratiske felter, en snor, der udgør lighedstegnet i ligningen og centicubes i forskellige farver.

Julie Klausholt og Line Sandholm afprøvede materialet i en 7. klasse for at undersøge, om eleverne oplevede, at brættet kunne give bedre forståelse for ligninger. ”Generelt fremhæver eleverne i forklaringen af, hvorfor de lettere kan forstå opgaverne, når de anvender materialet, at de kan “se det for sig””, skriver de.

”Man kan se det sådan lidt bedre. Sådan at man kan rykke rundt og alt det der”, sagde en elev om brættet. En anden elev: ”Det er også nemmere at kunne se det for sig, når de ligger på brikkerne, end hvis det bare er tal på et papir, eller det ligger op i hovedet”.

En tredje elev gav udtryk for, at brættet virkede motiverede: “Det er bare sådan lidt sjovere”. Det kan hænge sammen med, at arbejdet med konkrete materialer særligt hos nogle elever kan virke motiverede, fordi de har en taktil præference, skriver Line Sandholm og Julie Klausholt.

”Samlet set viser det sig, at eleverne ser det som en fordel at arbejde med et konkret materiale frem for på det abstrakte niveau. Eleverne giver udtryk for, at det er lettere at se det for sig og danner formodentlig mentale billeder ud fra arbejdet med konkrete materialer”.