Danske skoleelever
løser mange opgaver i matematikportalen MatematikFessor. Rigtig, rigtig mange.
Morten
Elkjær Hansen er dykket ned i de massive datamængder for at undersøge, hvad de
forkerte besvarelser i det populære digitale læremiddel afslører om elevernes
forståelse af matematikken.
Det har han
gjort i sit erhvervs-ph.d.-projekt, som han har lavet på DPU i samarbejde med MatematikFessor.
Han er efterfølgende blevet ansat i Alinea, hvor han nu arbejder med at udvikle
den populære portal.
Helt
nøjagtigt er det elevernes forståelse af ligninger, Morten Elkjær Hansen har
undersøgt. Det har han gjort ved at introducere 892 opgaver i MatematikFessors
onlineunivers, der er specifikt designet til formålet.
Efter halvandet
år var opgaverne besvaret i alt 2,5 millioner gange af cirka 94.000
forskellige elever. Og ud fra den store mængde data kunne Morten Elkjær Hansen
identificere fire fejltyper, der gik igen i elevernes besvarelser.
Hvad de var, og hvad de fortæller om elevernes matematikforståelse,
vender vi tilbage til. Lige så vigtigt som viden om, hvilke typer af fejl eleverne
laver, er nemlig, hvad matematiklærerne kan bruge den viden til, understreger Morten
Elkjær Hansen.
”I 2010,
hvor MatematikFessor blev lanceret, var attraktionen ved digitale læremidler, at
de kunne rette elevernes opgaver automatisk. Men det kræver rigtig meget af
lærerne at afkode, hvad børnene forstår og ikke forstår ud fra et søjlediagram over rigtige og forkerte svar på opgaver, lærerne ikke
selv har designet”, siger han til folkeskolen.dk/matematik.
”Jeg kunne
godt tænke mig, vi kom et nyt sted hen. Feedbacken til lærerne fra systemet
skal gå direkte til baggrunden for elevernes fejl og give inspiration
til undervisning, der kan rette op på netop de fejltyper. Og jeg er ret overbevist
om, at det kan lade sig gøre”.
Flytter rundt for at skabe mening
Og hvad er
det så for fejl, eleverne typisk begår, når de løser opgaver med ligninger i
MatematikFessor? Morten Elkjær Hansen har identificeret fire gennemgående:
1. Tastefejl – eller ’lige ved siden af’-fejl.
Eleverne har tastet forkert og derfor for eksempel svaret 4, selv om de er klar
over, at det rigtige svar er 5.
2. Negative tal. Eleven mangler
forståelse for, at tal kan være negative og ignorerer derfor minusser.
3. Usynligt gangetegn. Eleven mangler
forståelse for, at når der ikke står noget mellem et tal og en ubekendt – for eksempel 4x – skal de gange, og eleven lægger i stedet sammen.
4. Omorganisering af ligningen for at
skabe mening. Eleven bytter rundt på elementer eller led i ligningen for at få
den til at give bedre mening.
Særligt den
sidstnævnte fejl var Morten Elkjær Hansen overrasket over trådte så tydeligt
frem i det datadrevne billede af elevernes vanskeligheder med at løse ligninger.
”En klassiker
er, at man bytter rundt på tallene i et minusstykke, så det lille tal
trækkes fra det store. Eller at man rykker rundt på elementerne i ligningen for
at få ’svaret’ til at stå til højre for lighedstegnet. Det kom bag på mig, at
det var så åbenlyst i de svar, jeg så”, fortæller han.
Færre, men bedre opgaver
Der gik dog
noget tid, før data-stregtegningen begyndte at vise sig. I starten ledte Morten
Elkjær Hansen efter svar i de opgaver, der i forvejen var i MatematikFessor.
Han måtte dog sande, at de ikke var velegnede til formålet.
”En anden
stor attraktion ved digitale læremidler i 2010 var, at de gav adgang til et stort
antal opgaver. Filosofien var, at meget er godt. Det gjorde det svært at lave
billedet, fordi svarene var spredt ud over mange for ens opgaver i stedet for få
gode”, siger han.
En del tid
gik derfor med at udvikle 892 opgaver med ”diagnostisk værdi” og tilføje dem
til MatematikFessor-universet.
”Jo færre
svar en opgave kan give og jo mere præcist, man kan afkode de forkerte svar,
des højere er den diagnostiske værdi”, siger Morten Elkjær Hansen og tilføjer:
”Dermed ikke
sagt, at der kun skal eksistere den slags opgaver. Der skal også skabes
didaktiske situationer, hvor børn kan undres og gå på opdagelse. De skal hver
især være en del af matematikundervisningen. Men man skal være klar over, hvad
der er hvad, når man behandler data”.
Endelig
skulle Morten Elkjær Hansen også spore sig ind på de fejltyper, der ville være
til at udlede af data, og som ville give værdi for lærerne at få indblik i.
”Nogle gange
holder børnene bare femtallet nede, og så trykker de enter til sidst. Det kunne
jeg selvfølgelig kode som ’kedsomhed’, men det bliver vi nok ikke så meget
klogere af”, siger han.
I alt afprøvede
Morten Elkjær Hansen 49 forskellige mulige forståelsesvanskeligheder inden for
ligningsløsning, og heraf var det altså fire, der både trådte repræsentativt frem i
data og som kunne pege tilbage i undervisningen.
”For
eksempel viste det sig, at det ikke var en kilde til forståelsesfejl i
nævneværdig grad, at nul optrådte i en ligning. Det var jeg lidt overrasket
over”, siger han.
En testsituation er altid kunstig
Og hvad kan matematiklærerne
så bruge den viden til? Morten Elkjær Hansen håber, at version 2.0 af MatematikFessor
vil være i stand til at give læreren en feedback, der i højere grad kan få
undervisningen til at handle om forståelse for matematik og ikke bare de regneregler,
der skal bringe dem godt gennem eksamen.
”Jeg har ikke testet eleverne. De har bare brugt MatematikFessor
helt som sædvanlig. Og det har tilvejebragt en automatiseret viden om deres
matematikforståelse, der er helt upåvirket af den kunstige og til tider
angstprovokerende situation en test eller eksamen er. Og som læreren kan bruge
til at tilrettelægge en undervisning, der adresserer fejltyperne”, siger han og
tilføjer:
”Hvis det viser sig, at eleverne for eksempel omorganiserer ligningen
for at få den til at give mening, er det oplagt at kigge på lighedstegnets
egenskaber eller udtrykkenes konstruktion”.
Ofte påpeges
de digitale muligheder for gennem machine learning at skabe personaliseret
læring, der selv kan give eleverne feedback og stille nye opgaver, som arbejder
med deres forståelse.
Morten
Elkjær Hansen tror dog ikke på, at læreren kan skæres ud af ligningen, når det
kommer til undervisning af børn.
”Læreren har
en meget vigtig rolle i klasserummet, som er at være hovedformidler. Hele ideen
med at lave et datadrevent billede af elevernes fejltyper har hele vejen
igennem været, at det skal komme læreren til gode – og derigennem eleven”,
siger han.
Men kan
du forstå, hvis nogen får den ide, at systemet selv kan give feedback til eleven,
når det har identificeret grunden til, at fejlene opstår?
”Børn læser
ikke den type feedback. De er ligeglade. De vil videre til den næste opgave.
Men læreren får muligheden for at bruge det digitale redskab formativt. Og jeg
er med på, at alle summative værktøjer kan bruges formativt og omvendt, men hele
ideen er gennem formativ evaluering at klæde lærerne bedre på til at undervisningsdifferentiere”.
Nu har du
kigget på ligninger. Kan det bruges på andre områder af matematik?
”Det tror
jeg. Mit umiddelbare bud er, at der vil være færre fejltyper i de fire
regnearter, der alt andet lige er noget mindre kompliceret og abstrakt end generaliseret
aritmetik”.
