”At lære at ræsonnere i matematik anses som en af de vigtigste kompetencer i matematikundervisningen, men ikke desto mindre anses det ikke som en let opgave”.

Ovenstående citat fra adjunkt ved Syddansk Universitet Dorte Moeskær Larsen er baggrunden for emnevalget i Katrine Darling Kristiansen og Carolina Andrea Varnild Aagreens bachelorprojekt fra læreruddannelsen på Københavns Professionshøjskole. 

En måde at arbejde med ræsonnementer er gennem undersøgende undervisning. De har derfor valgt at undersøge, hvilke potentialer en undersøgende tilgang har på udviklingen af elevernes relationelle forståelse og evne til at ræsonnere. 

Skal eleverne arbejde undersøgende, kræver det, at de får mulighed for at formulere faglige spørgsmål, fastlægge manglende oplysninger, vende tingene på hovedet, eksperimentere, strukturere, visualisere og i det hele taget være matematikkreative og -nysgerrige, skriver de. 

”Hvordan kan man som matematiklærer stilladsere undervisning med et særligt fokus på udvikling af elevers ræsonnementskompetence”, spørger de i problemformuleringen. 

De kognitive krav 

Relationel forståelse og evnen til at ræsonnere er tæt forbundne, da de begge forudsætter, at eleven kan skabe sammenhæng mellem forskellige matematiske koncepter, begreber og procedurer. 

Katrine Darling og Carolina Aagreen har dog en forventning om, at matematiske læremidler ofte indeholder opgaver med lave kognitive krav og dermed har fokus på færdigheder og en instrumentel forståelse af matematik. 

I projektet undersøger de derfor, om deres forventning gør sig gældende i ”Kolorit 8”, og hvordan man som lærer kan højne de kognitive krav, så eleverne får mulighed for at arbejde med deres ræsonnementer.

Ræsonnementskompetencen handler om at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement.

”Et matematisk ræsonnement er en kæde af argumenter, som er fremsat af andre, enten på skrift eller i tale. Det handler om at vide og kunne forstå, hvad et matematisk bevis er, og hvornår et matematisk ræsonnement udgør et bevis eller ej. Kompetencen indebærer at kunne bedømme holdbarheden af matematiske påstande, men også at kunne overbevise andre og ikke mindst sig selv om gyldigheden af påstande”, skriver de. 

Ud over Dorte Moeskær Larsen refererer Katrine Darling og Carolina Aagreen blandt andet til lærebogsforfatter Pernille Pind og forsknings- og udviklingsprojektet KiDM (Kvalitet i Dansk og Matematik). 

Manglende stilladsering

Katrine Darling og Carolina Aagreens analyse af ”Kolorit 8” tager afsæt i kapitlet ”Geometriske eksperimenter”. Samme kapitel er udgangspunktet for deres case fra praktikforløbet i en 8. klasse. 

I deres planlægning tilføjede de nogle spørgsmål og opgaver, som de mente stillede højere krav til eleverne, så de kunne arbejde mod en mere relationel forståelse hos eleverne. 

Klassen skulle finde arealet af en trekant og fik oveni tillægsspørgsmålet med ordlyden: ”Hvis trekantens sidelængder var dobbelt så lange, hvor stort ville arealet så blive? Og hvad hvis sidelængderne var tre gange så lange?” 

Derudover fik eleverne en mere udfordrende opgave, hvor de skulle finde arealet af et blåt område, der var indtegnet i en firkant. For at løse opgaven skulle de bruge deres viden om trekanter med samme grundlinje og samme højde samt deres viden om, at et symbol med to parallelle streger på et linjestykke indikerer, at alle sider med dette symbol har samme længde. 

Efter 15 minutter blev gruppearbejdet stoppet, da ingen var nået frem til en løsning. Resten af undervisningen blev brugt på at gennemgå, hvordan opgaven kunne løses. 

Ekstraopgaven var et ønske om at lade eleverne udvikle matematiske ræsonnementer, men på grund af manglende stilladsering og den uvante arbejdsform lykkedes det ikke at involvere eleverne i ræsonnerende virksomhed, skriver de. 

Brud på didaktisk kontakt 

Katrine Darling og Carolina Aagreen konkluderer, at ”Kolorit 8” har en overvægt af opgaver, der stiller lave kognitive krav til eleverne.

”Selvom vi som kommende folkeskolelærere ikke nødvendigvis skal benytte dette bogsystem, finder vi det relevant at være opmærksomme på, hvordan man med få greb, kan tilpasse opgaverne, så eleverne i højere grad kommer til at arbejde med ræsonnementskompetencen”, skriver de. 

Samtidig vurderer de, at arbejdet med relationel forståelse må prioriteres højt, når man ønsker at styrke elevers ræsonnerende virksomhed.

”Med en solid, grundlæggende matematikforståelse, der bygger på instrumentelle og relationelle elementer, vil man kunne bruge sin udenadslære hentet direkte fra hukommelsen, sammen med refleksioner omkring sammenhænge og mulige strategier. Sammen med en undersøgende praksis, hvor man lærer at diskutere, argumentere og validere, kan dette bidrage til et bedre potentiale for opbyggelsen af en god ræsonnementskompetence,” konkluderer de. 

Som casen viser, er det ikke nok at lade eleverne arbejde med opgaver, som på papiret er undersøgende eller giver anledning til en udvikling af ræsonnementskompetence. 

”Lærerens stilladsering er altafgørende, for det læringsudbytte eleverne får ud af arbejdet, og det er derfor en af lærerens vigtigste opgaver at kunne identificere, hvori elevens behov for støtte ligger samt at kunne tilbyde en passende stilladsering”, skriver Katrine Darling Kristiansen og Carolina Andrea Varnild Aagreen i konklusionen. 

Man skal samtidig være opmærksom på, hvordan eleverne tidligere har arbejdet i matematik, da det kan have betydning for ”både de sociomatematiske normer i klassen, klasserummets matematiske praksisser og den didaktiske kontakt”.

 ”Hvis eleverne primært har arbejdet med matematikken, som noget, der har et rigtigt facit, og en ny lærer ønsker at praktisere en mere undersøgende undervisning med henblik på at arbejde ræsonnerende, kan der opstå mange brud på den didaktiske kontakt”, konkluderer de.