At starte op med strategier i division syntes jeg var en lidt svær nød at knække. Der findes rigtig mange videoer på YouTube, fx trappemetoden, brøkmetoden, slikkepinden eller ballonmetoden. Fælles for dem alle er, at de ikke er særlige fleksible, og at de ikke bidrager særlig godt til forståelsen. Det er den samme procedure eleverne skal igennem, hver gang de skal dividere, og det var jeg ikke helt tilfreds med. Jeg ville stadig gerne bevare fleksibiliteten i deres regneproces -ligesom i de andre regningsarter. Men hvordan?

”Hvornår starter man…?”

Selvom det ikke var noget jeg tænkte særlig meget over, så møder elever allerede division meget tidligt i indskolingen. Fx bliver eleverne bedt om at halvere et lige tal. Dette kunne fx være i forbindelse med arbejdet om pluspar.

Senere i indskolingen møder de også opgavetyper som nedenstående. Dette kaldes også for ligedeling. Her skal de 6 småkager deles mellem de to børn.

Andre typiske opgaver kunne være, ”En kage koster 4 kr. Simon har 12 kr. Hvor mange kager kan han købe?”. Her vil eleverne kunne sige 12-4-4-4=0, som derfor må være 3 kager. Dette er fortløbende subtraktion, men kaldes for også måling og kan illustreres med et måleband, lineal eller tallinje.

Så eleverne er altså ret tidligt i gang.  Hvis vi er mere opmærksomme på dette, så kan vi give eleverne lagt større forudsætninger. Jeg fortryder, at jeg ikke gav disse opgaver mere opmærksomhed den dag i dag. Man kunne fx sagtens have været tydeligere i forhold til, hvad halvdele betyder, klippet i målebånd fra Ikea og delt centicubes op i forskellige mængder.

”Regnestrategier… Division…??”

Fleksibiliteten var stadig vigtig, og jeg ønskede ikke, at mine elever skulle bruge tabelremserne og deres fingre til at tælle sig frem til svaret. De skulle gøre brug af det de allerede vidste – altså retrievelstrategier. Jeg ville have, at mine elever skulle opdele eller ændre på regnestykket, så det blev nemmere for dem at regne. Det tog lang tid for mig at vurdere, hvilken måde jeg ville introducere det på. Flere elever har måske hørt fra søskende og forældre, at division er svært og dette kan give noget modstand for læring. Derfor ville jeg gerne starte et sted, hvor jeg vidste, at mine elever kunne lykkes, noget der måske ikke var så farligt. I øvrigt vidste jeg godt fra tidligere klasser, at mange elever synes, at division var meget abstrakt. Så for at konkretisere det lidt tog jeg alt det håndgribelige materialer, jeg kunne finde i brug. 

• Centicubes
• Målebånd
• Lineal
• Penge

”Gør det mindre farligt”

Jeg valgte derfor at starte et andet sted, nemlig med fortløbende subtraktion. Altså hvor mange gange vi kunne trække en et bestemt antal fra en mængde.

Her er tallinjen igen en stor hjælp. Især fordi eleverne har brugt den før og er tryg ved den, men også fordi de kan bruge den til at vise processen. Dette gør det mere overskuelifgt. Fx ved 42:6.

7 gange kunne vi trække 6 fra. Så derfor må 42:6=7.

For at få flere repræsentationsformer i spil lavede jeg samme øvelse med 42 centicubes. Her bad jeg dem trække seks centicubes fra af gangen.

Det var ikke noget jeg brugte mange lektioner på, men jeg ville gerne have at mine elever fik et indtryk af, at de sagtens kunne lykkedes uden at dividere.

”De kan jo ikke trække fra hele tiden - hvad gør man så?”

Nej det kan man ikke, derfor skulle vi også videre. Man kan udnytte at division er det modsatte af multiplikation. Fx ved divisionsstykket 42:6, her kan man tænke omvendt, ”hvad skal jeg gange 6 med for at få 42?” Ja, det er jo rigtig oplagt at kunne, men hvis man skal kunne gøre dette hver gang, kræver det, at du kan alle gangestykker uden ad. Nok ikke realistisk i 3. eller 4. klasse - eller senere. Ikke desto mindre er dette en rigtig fin tanke, da der helt sikkert er nogle regnestykker, der sidder fast i hukommelsen efter at have arbejdet med multiplikation, men det række næppe til de store tabeller. Derfor synes jeg ikke, at tabeltræning er den eneste vej frem i forhold til division.

”Lidt af gangen med små tabeller”

Når eleverne har arbejdet med fortløbende subtraktion på en tallinje, vil de opdage, at når divisionsstykkerne bliver lidt større, så skal der hoppes mere.  Derfor vil man på et tidspunkt skulle bede eleverne tage lidt større hop på tallinjen, så et hop er flere fratrækninger. Nu kan man med fordel vende sig mod multiplikation. Her er et eksempel med 72:8.

I stedet for at trække 8 fra fem gange, udnytter vi vores viden fra multiplikation. Vi ved at 8x5 giver 40.

72-40=32. Så er der 32 tilbage. Ved også at 8x4=32.

Så 5 + 4 = 9. Altså er 72:8=9

Helt konkret har vi i dette divisionsstykke valgt at opdele 72 i to dele. Vores opdeling er 40 og 32, men kunne sagtens være anderledes, blot at 8 går op i begge tal. Vi kan nu lave to divisionsstykker af ovenstående; 40:8=5 og 32:8=4 efterfølgende skal resultaterne adderes og resultatet heraf er 9.

Her ses samme opgave løst med ligedeling med ”krukkemetoden”. Som også står beskrevet i "Matematik for alle" af Pernille Pind.

”Lidt af gangen med kvadrattal”

Vi udnytter her, at vi kan vores kvadrattal. Vi ved, at 8x8=64, og det betyder, at vi kan trække 64 fra hvilket svarer til 8 hop.

72-64=8. Så er der 8 tilbage, hvilket giver 8:8 = 1

Så 8 + 1 = 9. Altså er 72:8=9

Helt konkret har vi i dette regnestykke valgt at opdele 72 i to dele. Vores opdeling er 64:8 og 8:8, hvilket giver 8+1=9

Her ses samme opgave løst med ligedeling med ”krukkemetoden”.

"Lidt afgangen – stor mængde”

Når divisionsstykkerne bliver større, så kan det være hensigtsmæssigt at dele på en større mængde af gangen. Derfor kan man udnytte sin viden fra det at gange med 10, 20 eller mere.  Igen illustreres det herunder med to eksempler på en tallinje.

Vi ved at 80:8 = 10

Vi har nu brugt 80 ud af 96. Derfor er der stadig mindre mængde, der skal deles ud.

96-80 =16

16:8 =2

Så 10 + 2 = 12 altså er 96:8 = 12

Her ses samme opgave løst med ligedeling med ”krukkemetoden”. På et tidspunkt vil eleverne opdage, at man ikke behøver at nedskrive for alle krukker, da de jo får det samme. Man kan derfor nøjes med en krukke. Det kræver dog lidt mere overblik.

”Halvere og halvere – stop, når du kan udregne…”

Flere elever har udfordringer med at behandle store tal. Derfor vil nogen kunne gøre brug af denne strategi. Hvis man fx ikke kan 72:8, behøver man ikke give op. Man kan ændre på tallene, uden at resultatet bliver anderledes. Hvis man halvere på begge sider af divisionstegnet, skabes et nyt divisionsstykke, men resultatet ændres ikke. Det åbner derimod op for nye muligheder, da 72:8 ændres til 36:4. Mængden der skal deles, er meget mindre, og der er også færre at dele med, derfor vil nogen opleve det som mere overskueligt. Endvidere giver denne strategi mulighed for at gøre brug af en ny tabel, som man måske er mere sikker i. Jeg har her forsøgt at illustrer en proces, som gerne skulle give et indtryk af, at divisionsstykket bliver mere overskueligt efter en eller flere halveringer. Ligeså kan man se, at der nu er fire tabeller at vælge imellem.

Det er ikke meningen, at eleven skal tegne nedenstående, når de udregner divisionsstykket.

Denne her strategi har dog sine begrænsninger, da den i langt de fleste tilfælde kun kan bruges på lige tal. Ulige tal vil efter en halvering ikke være heltal, og derfor vil det i mange tilfælde være svære at dividere ud. Fx 42:8 kan kun halveres en gang og bliver derfor til 21:4. Nu kan man gøre brug af ovenstående strategier.

”Hvad så, når der er rest”

Det der plagede mig lidt i forbindelse med disse regnestrategier var de resultater, som indeholdte decimaltal. Hvordan kunne de skrives, og hvordan kunne jeg få eleverne til at forstå det? Til at starte med accepterede jeg, at de skrev følgende:

Fx 13:4=3 + 1 i rest.

Efter et par uger syntes jeg, at det på en eller anden måde ikke var godt nok. Jeg ville have, at de skulle vise, at resten også kunne deles. Jeg lærte dem derfor at skrive resten som en brøk.

Derfor blev ovenstående resultat lavet om til 13:4=3¼.

Nogen valgte at tegne en pizza som en del af deres proces, hvilket jeg også synes viser deres tankegang. 13 pizzaer skal deles af fire mennesker.

Hvis man så har arbejdet med brøker, hvilket jeg heldigvis har, så kunne de efterfølgende omskrive de brøker, som de kunne, til decimaltal. Så er der nogen, der tænker frem mod afgangsprøverne. Går det nu også her? Derfor har jeg kigget nærmere i rettevejledningerne til færdighedsprøverne og her fremgår det også af facitlisten, at det er okay, at decimaltal skrives som en brøk - i rigtig mange tilfælde er en brøk jo også meget præcis end oprundede decimaler.

Jeg håber, at mit lille skriv gav nogle ideer eller tanker til at starte på arbejdet med regnestrategier inden for multiplikation. Hvis noget af ovenstående giver anledning til spørgsmål, så er man velkommen til at skrive til mig på Micky_Lindharth@hotmail.com.

TAK fordi du læste med.

Vh Micky Lindharth

Lærer

Anna Trolles Skole – Middelfart Kommune