I en artikel i folkeskolen.dk d. 30.september (Det er vist en ommer! - Trapezer i folkeskolens formelsamling) harcelerer Klaus Rasmussen over formelsamlingens definition af et trapez som en firkant, der har netop to parallelle sider (kaldet den ekskluderende definition) i stedet for mindst to parallelle sider (kaldet den inkluderende definition).

For Klaus Rasmussen er dette en fejl af sådanne dimensioner, at formelsamlingen ligefrem kaldes en ”ommer”. At de brave folk, der har forfattet denne udgave af formelsamlingen, skal leve med beskyldningen for at have fremstillet en ”ommer” er i netop denne sammenhæng ikke helt retfærdigt, så jeg vil gerne forsvare deres beslutning.

Klaus Rasmussen forsvarer sin dom med følgende fire argumentere:

Hensynet til elevernes videre uddannelse i matematik: ”… , specielt hvor man tænker på elevernes videre progression i matematikken. Jeg har udelukkende set den inkluderende definition brugt i ungdomsuddannelse og videregående uddannelse.”

”Den inkluderende definition har også den fordel, at ting man ved om trapezer så også gælder for parallelogrammer, rektangler og kvadrater. Det ligger i tråd med hvorledes man i øvrigt klassificerer geometriske figurer som delmængder af andre figurklasser.”

”En ekskluderende definition vil også betyde at anden matematik som fx det bestemte integral vil være udefineret for visse værdier.”

”Kigger vi på lærerplaner, altså curriculum, lidt ligesom ”Fælles Mål”, anbefales det også i ”Common Core Standards” (Amerikansk National Curriculum) at bruge den inkluderende definition.”

Ad 1.

At Klaus Rasmussen påstår udelukkende at have set den inkluderende definition brugt i ungdomsuddannelser og videregående uddannelser er der selvfølgelig ingen grund til at betvivle, når nu Klaus Rasmussen siger det. På den anden side er jeg aldrig stødt på den inkluderende definition i disse sammenhænge trods i alt 22 års erfaring som matematiklærer i de gymnasiale uddannelser (gymnasium, studenterkursus, toårigt HF, enkeltfags-HF) og 15 års erfaring som matematikunderviser (instruktor og ekstern lektor) på Københavns Universitet. Måske fordi definitioner af simple geometriske figurer på disse niveauer er eller anses for at være et overstået kapitel. Heller ikke i mine mange år som seminarielektor er jeg stødt på den inkluderende definition – men det skyldes måske, at jeg var medforfatter på de bøger, vi brugte.

Ad 2.

Den eneste ting, man ved om trapezet, som også gælder for parallelogrammer, rektangler og kvadrater er arealformlen A = ½h(a + b), hvor h er højden, og a og b er længderne af de parallelle sider, og ingen skal bilde mig ind, at man ville erstatte de langt enklere formler for areal af parallelogram, rektangel og kvadrat med denne.

Det er lidt uklart for mig, hvad Klaus Rasmussen mener med ”Det ligger i tråd med hvorledes man i øvrigt klassificerer geometriske figurer som delmængder af andre figurklasser”. De navngivne firkanter er jo ikke delmængder af hinanden på samme måde som fx talmængderne. For eksempel er alle kvadrater både rektangler og romber, men der eksisterer intet inklusionsforhold mellem romber og rektangler.

Ad 3.

Det fremgår ikke af Klaus Rasmussens artikel, hvordan dette argument kommer i stand og hvilke ”visse værdier” der er tale om, så her må jeg gætte.

Hvis en ”passende” funktion er positiv, er det bestemte integral fra a til b af funktionen lig med arealet af det område, der begrænses af grafen, x-aksen og linjerne med ligningerne x = a og x = b.

Til numerisk bestemmelse af sådanne integraler benyttes af og til forskellige tilnærmelsesformler. En (blandt mange andre) af dem kaldes trapez-metoden, og da Klaus Rasmussens artikel handler om trapezer, er gættet, at det er her, vi skal søge en eventuel sammenhæng mellem bestemte integraler og trapezer. Metoden tilnærmer arealet ved summen af arealerne af en række trapezer tegnet mellem x-aksen og funktionens graf.

Nu er sagen imidlertid, at hvis funktionen i et delinterval af [a; b] er konstant, vil trapezerne i dette interval udarte til rektangler – som ifølge den ekskluderende definition netop ikke er trapezer. Men det betyder naturligvis ikke, at det pågældende bestemte integral bliver udefineret, pludselig hører op med at eksistere eller ikke kan bestemmes. Det betyder blot, at man (hvis man er meget ”pernittengrynet”), må kalde metoden noget andet – fx ”trapez-rektangel-metoden” – eller man må bruge en af de utallige andre numeriske metoder til integration.

Ad 4.

Når Klaus Rasmussen påstår, at man i USA (og andre steder) anbefaler at bruge den inkluderende definition, har jeg ingen grund til at betvivle det. Det kan såmænd også godt være, de følger anbefalingen – hvad ved jeg. Men at man i USA gør tingene på en bestemt måde er ikke i sig selv nok til, at vi skal gøre det på den samme.

Pointen er imidlertid ikke, om den ene eller den anden definition er rigtig eller forkert. Klaus Rasmussen siger i sit indlæg, at ”Selvfølgelig kan man definere ting som man har lyst til i matematik”. Det er nu nok lige flot nok at give alle og enhver ret til at definere fagtermer som det passer dem, og det er nok heller ikke det, Klaus Rasmussen mener. Men det ”rigtige” – og pointen i denne sammenhæng – er, at begge definitioner vil kunne bruges. Det vil så blot være befordrende for kommunikationen om trapezer, hvis vi er enige om, hvilken definition der gælder. Det er vi så ikke i dette tilfælde, og det er da ærgerligt, men der er ikke så meget at gøre ved det. Der er andre matematiske begreber (fx ligebenet trekant (netop to eller mindst to lige lange sider?) og begrebet median i deskriptiv statistik), hvor der heller ikke er enighed om en definition, og det må vi bare leve med.

Så formelsamlingens forfattere kan efter min bedste overbevisning sove roligt. Der er ingen grund til nogen ”ommer” i denne sammenhæng.

P.S.: Jeg bør vel røbe, hvor jeg selv står, selv om det nok er fremgået. Jo, jeg er tilhænger af den ekskluderende definition. Hvorfor? Fordi den er mere informativ – indeholder mere information – end den inkluderende. Hvis man ved, at en firkant er et trapez efter den ekskluderende definition, ved man også, at den ikke er et parallelogram (inkl. rombe) eller et rektangel (inkl. kvadrat) – det ved man intet om, hvis firkanten er et trapez efter den inkluderende definition.